1のn乗根についての話

1の\(n\)乗根についての話。

本題に入る前に

必要な事前知識

1の\(n\)乗根の話をするには、だいたい下記の知識が必要。

  • 三角関数
  • 複素数(できれば複素平面)
  • 整数の性質

これは高校数学の範囲なので各自で調べてほしい。(書く元気なかった、ごめんね)

特に大事なモノ

オイラーの公式

\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)

かなり大事。証明はeasy

ド・モアブルの法則

\((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\)

これも大事。オイラーの公式使えば証明は一瞬。

ド・モルガンの法則と名前を間違えやすいので注意。

「互いに素」

自然数\(a,b\)の最大公約数が\(1\)であるとき、\(a\)と\(b\)は互いに素であるという。

結構便利な言葉なので積極的に使っていこう

本題

いろいろ定義

1の\(n\)乗根

\(n\)次方程式\(x^n=1\)の解\(x\)を1の\(n\)乗根という。

オイラーの公式やド・モアブルの法則より、\(x^n=1\)の解は\(x=e^{2\pi k/n}=\sin{2\pi k/n}+i\cos{2\pi k/n} (0\leq k<n)\)であることがわかる。

一般に、2乗根は平方根、3乗根は立方根と呼ばれる。

簡単な例を挙げると、1の2乗根は\(1,-1\)、1の4乗根は\(1,i,-1,-i\)。

1の原始\(n\)乗根

上の1の\(n\)乗根のうち\(n\)乗することで初めて1になるもの、つまり\(n\)次方程式\(x^n=1\)の解であり、かつ\(m(<n)\)次方程式\(x^m=1\)の解でないものを1の原始\(n\)乗根という。

1の原始\(n\)乗根はしばしば\(\zeta_n\)と表される。この記事でも用いる。

公式的ないろいろ

\({\zeta_n}^n=1\)

[証] 定義より自明。

\(1+\zeta_n+…+{\zeta_n}^{n-1}=0\)

[証] \(x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+…+x+1)\)と\(\zeta_n\not=1\)より示される。

おまけの話

級数\(\frac{1}{0!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{6!}+…\)、\(\frac{1}{1!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{7!}+…\)、\(\frac{1}{2!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{8!}+…\)について考えよう。

\(\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)とおく。これは1の原始3乗根の1つ。

ここで\(e^n=\sum_{n\leq 0}\frac{x^n}{n!}\)を利用できないか考える。

先述の通り、\(\omega^3=1,1+\omega+\omega^2=0\)である。よって、

\(\begin{eqnarray*}e+e^\omega+e^{\omega^2}&=&\sum_{n\leq 0}(\frac{1}{n!}+\frac{\omega^n}{n!}+\frac{\omega^{2n}}{n!})\\
&=&\sum_{n\leq 0}\frac{3}{(3n)!}\\
&=&\frac{1}{0!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{6!}+…\end{eqnarray*}\)
となる。

\(\omega^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\)であるから、

\(\begin{eqnarray*}e^\omega+e^{\omega^2}&=&\frac{1}{\sqrt{e}}(e^{\frac{\sqrt{3}i}{2}}+e^{-\frac{\sqrt{3}i}{2}})\\
&=&\frac{1}{\sqrt{e}}\{(\cos\frac{\sqrt{3}i}{2}+i\sin\frac{\sqrt{3}i}{2})+(\cos\frac{-\sqrt{3}i}{2}+i\sin\frac{-\sqrt{3}i}{2})\}\\
&=&\frac{2\cos\frac{\sqrt{3}i}{2}}{\sqrt{e}}\end{eqnarray*}\)
となるので、最終的に次が示された。

\(\frac{1}{0!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{6!}+…=e+\frac{2\cos\frac{\sqrt{3}i}{2}}{\sqrt{e}}\)


同じようにすれば残り2つも示せるのでやってみてね!

以上、睡魔に襲われながらクマがお届けしました。

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